Question

已知關于x的函數y=（m+6）x²+2（m-1）x+m+1恒有零點．
（1）求m的范圍；
（2）若函數有兩個不同零點，且其倒數之和為-4，求m的值．

Answer 1

解：（1）當m+6=0時，m=-6，函數為y=-14x-5顯然有零點．
當m+6≠0時，m≠-6，由△=4（m-1）²-4（m+6）（m+1）=-36m-20≥0，得m≤-．
∴當m≤-且m≠-6時，二次函數有零點．
綜上可得，m≤-，即m的范圍為（-∞，-]．
（2）設x₁，x₂是函數的兩個零點，則有 x₁+x₂=-，x₁x₂=．
∵+=-4，即=-4，
∴-=-4，解得m=-3．
且當m=-3時，m+6≠0，△＞0，符合題意，
∴m的值為-3．
分析：（1）當m+6=0時，即m=-6時，滿足條件．當m+6≠0時，由≥0求得m≤-且m≠-6．綜合可得m的范圍．
（2）設x₁，x₂是函數的兩個零點，由條件并利用一元二次方程根與系數的關系求得m的值．
點評：本題主要考查函數的零點的定義，二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．