Question

如圖，已知△OAP的面積為S，．設(shè)，，并且以O(shè)為中心、A為焦點的橢圓經(jīng)過點P．當(dāng)取得最小值時，則此橢圓的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：先以O(shè)為原點，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，=c，P點坐標(biāo)為（x，y），則••|y|=，即 ．因為 =（c，0），=（x-c，y），•=1，可得 ==，設(shè) ，判斷知f（c）在[2，+∞）上是增函數(shù)；所以當(dāng)c=2時，f（c）為最小，從而 為最小，此時P（ ），最終得到答案．
解答：解：如圖，以O(shè)為原點，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系
設(shè)，，
∴••|y|=，∴
∵=（c，0），=（x-c，y），•=1
∴c（x-c）=1，∴
∴==
設(shè) ，當(dāng)c≥2時，任取c₂＞c₁≥2
有
當(dāng)c₂＞c₁≥2時，
∴f（c₂）-f（c₁）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函數(shù)
∴當(dāng)c=2時，f（c）為最小，從而 為最小，此時P（ ）
設(shè)橢圓的方程為 ，則 ∴a²=10，b²=6
故橢圓的方程為 ．
故答案為：．
點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解答的關(guān)鍵對向量的運算要相當(dāng)熟悉，同時要善于利用函數(shù)思想求最值．