Question

某大學(xué)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門(mén)選修課，學(xué)生是否選修哪門(mén)課互不影響．已知某學(xué)生選修甲而不選修乙和丙的概率為0.08，選修甲和乙而不選修丙的概率是0.12，至少選修一門(mén)的概率是0.88，用ξ表示該學(xué)生選修的課程門(mén)數(shù)和沒(méi)有選修的課程門(mén)數(shù)的乘積．
（1）記“函數(shù)f（x）=x²+ξ•x為R上的偶函數(shù)”為事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z
依題意得，解得
（1）若函數(shù)f（x）=x²+ξ•x為R上的偶函數(shù)，則ξ=0
當(dāng)ξ=0時(shí)，表示該學(xué)生選修三門(mén)功課或三門(mén)功課都沒(méi)選．
∴P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）
=0.4×0.5×0.6+（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.24
∴事件A的概率為0.24
（2）依題意知ξ的取值為0和2由（1）所求可知
P（ξ=0）=0.24
P（ξ=2）=1-P（ξ=0）=0.76
則ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52
分析：（1）由于學(xué)生是否選修哪門(mén)課互不影響，利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率解出學(xué)生選修甲、乙、丙的概率，由題意得到ξ=0時(shí)，表示該學(xué)生選修三門(mén)功課或三門(mén)功課都沒(méi)選，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）用ξ表示該學(xué)生選修的課程門(mén)數(shù)和沒(méi)有選修的課程門(mén)數(shù)的乘積，所以變量的取值是0或2，結(jié)合第一問(wèn)解出概率，寫(xiě)出分布列，算出期望．
點(diǎn)評(píng)：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問(wèn)題，題目做起來(lái)不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問(wèn)題不大，解題的關(guān)鍵是正確理解題意．