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        1. 設定義在R的函數(shù)f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,a0,a1,a2,a3,a4∈R,當x=-1時,f(x)取得極大值
          2
          3
          ,且函數(shù)y=f(x+1)的圖象關于點(-1,0)對稱.
          (Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的表達式;
          (Ⅱ)判斷函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在兩點,使得以這兩點為切點的切線互相垂直,且切點的橫坐標在區(qū)間[-
          2
          ,
          2
          ]上,并說明理由;
          (Ⅲ)設xn=1-2-n,ym=
          2
          (3-m-1)
          (m,n∈N+),求證:|f(xn)-f(ym)|<
          4
          3
          |.
          分析:(Ⅰ)將函數(shù)y=f(x+1)的圖象向右平移一個單位得到函數(shù)y=f(x)的圖象,得出函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(0,0)對稱,即y=f(x)為奇函數(shù),所以f(x)=a1x3+a3x.利用當x=-1時,f(x)取得極大值
          2
          3
          ,列出方程組,求解a1,a3
          (II)假設存在兩切點(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),且x1,x2∈[-
          2
          ,
          2
          ],通過f′(x1)f′(x2)=(
          x
          2
          1
          -1
          )(
          x
          2
          2
          -1
          )=-1探討方程解得情況,作出判斷.
          (Ⅲ)xn∈[
          1
          2
          ,1)
          ,ym∈(-
          2
          ,-
          2
          2
          3
          ]
          ,考查f(x)的單調(diào)性,分別求出f(xn),f(ym)的最值解決.
          解答:解:(I)將函數(shù)y=f(x+1)的圖象向右平移一個單位得到函數(shù)y=f(x)的圖象,∴函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(0,0)對稱,即y=f(x)為奇函數(shù)、∴f(x)=a1x3+a3x
          由題意可得
          f′(-1)=3a1+a3=0
          f(-1)=-a1-a3=
          2
          3
          ,解得
          a1=
          1
          3
          a3=-1

          ∴f(x)=
          1
          3
          x3-x
          (II)存在滿足題意的兩點.                         
          由(I)得f′(x)=x2-1
          假設存在兩切點(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),且x1,x2∈[-
          2
          ,
          2
          ],
          則f′(x1)f′(x2)=(
          x
          2
          1
          -1
          )(
          x
          2
          2
          -1
          )=-1
          ∵,
          x
          2
          1
          -1
          ,
          x
          2
          2
          -1
          ∈[-1,1],∴
          x
          2
          1
          -1=-1
          x
          2
          2
          -1=1
          x
          2
          1
          -1=1
          x
          2
          2
          -1=-1

          x1=0
          x2
          2
          x2=0
          x1
          2

          從而可求得兩點的坐標分別為(0,0),(
          2
          ,-
          3
          3
          )或(0,0),(-
          2
          ,
          3
          3

          …(9分)
          (III)∵當x∈[
          1
          2
          ,1)
          時,f′(x)<0,∴f(x)在[
          1
          2
          ,1)
          上遞減
          由已知得xn∈[
          1
          2
          ,1)
          ,∴f(xn)∈(f(1),f(
          1
          2
          )]
          ,即f(xn)∈(-
          2
          3
          ,-
          11
          24
          ]

          …(11分)
          又x<1時,f′(x)>0-1<x<1時,f′(x)<0,
          ∴f(x)在(-∞,-1)上遞增,f(x)在(-1,1)上遞減.
          ∵ym=
          2
          (3-m-1)
          ,∴ym∈(-
          2
          ,-
          2
          2
          3
          ]

          -
          2
          <-1<-
          2
          2
          3
          ,且f(
          2
          )=
          2
          -
          2
          2
          3
          =
          2
          3
          <f(-
          2
          2
          3
          )=
          2
          2
          3
          -
          38
          2
          81

          ∴f(ym)∈(f(-
          2
          ),f(-1)]=(
          2
          3
          ,
          2
          3
          ]
          、…(13分)
          ∴|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)<
          2
          3
          -(-
          2
          3
          )=
          4
          3
          …(14分)
          點評:本題考查導數(shù)的幾何意義,函數(shù)最值求解及應用.用到了函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)關系,綜合性強.屬于難題.
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          設定義在R的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③當0≤x<1時,f(x)=2x-1.則f(
          1
          2
          )+f(1)+f(
          3
          2
          )+f(2)+f(
          5
          2
          )
          =
           

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          設定義在R的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件:
          ①f(x)+f(-x)=0;
          ②f(x)=f(x+2);
          ③當0≤x<1時,f(x)=2x-1.
          f(
          1
          2
          )+f(1)+f(
          3
          2
          )+f(2)+f(
          5
          2
          )
          =( 。
          A、1
          B、2(
          2
          -1)
          C、
          2
          -1
          D、3(
          2
          -1)

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          科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年度江蘇省連云港市贛榆高級中學高三暑期檢測數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題

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