Question

【題目】已知點(diǎn)，拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)M，使得直線(xiàn)AM的斜率的最大值為1，圓Q的方程為.

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)和C的方程；

（2）若直線(xiàn)l交C于D，E兩點(diǎn)且直線(xiàn)MD，ME都與圓Q相切，證明直線(xiàn)l與圓Q相離.

Answer 1

【答案】（1），C的方程為（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）（法一）設(shè)，代入拋物線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)AM的斜率表達(dá)式，利用基本不等式求出取得最大值1．解得，求出拋物線(xiàn)方程． (法二)：設(shè)，則點(diǎn)在x軸上方，直線(xiàn)AM的方程為y=x+1，聯(lián)立直線(xiàn)AM和拋物線(xiàn)C的方程并整理得，利用判別式解得p，然后求解拋物線(xiàn)方程．

（2）（法一）求出圓Q的圓心為，半徑為，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)MA或MB的方程為利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離解得．得到直線(xiàn)MD的方程，將直線(xiàn)MD方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，設(shè)，求出D，E坐標(biāo)，推出l的方程，判斷直線(xiàn)l與圓Q相離．

（法二）求出圓心Q，半徑為．設(shè)l的方程為．代入拋物線(xiàn)方程，轉(zhuǎn)化求解直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的方程式，通過(guò)與圓Q相切，轉(zhuǎn)化求解D、E坐標(biāo)，得到直線(xiàn)l得方程判斷圓心Q到直線(xiàn)l的距離，得到結(jié)果．

解：(1)(法一)設(shè)，則，

由已知可得，直線(xiàn)AM的斜率為

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1.

∴，解得，

∴，C的方程為.

法二：設(shè)，則點(diǎn)M在x軸上方

由已知，當(dāng)直線(xiàn)AM的斜率為1時(shí)，直線(xiàn)AM與拋物線(xiàn)C相切

此時(shí)直線(xiàn)AM的方程為，

聯(lián)立直線(xiàn)AM和拋物線(xiàn)C的方程并整理得

，∴，

解得：，且

∴，C的方程為.

(2)(法一)圓Q的方程可化為

圓Q的圓心為，半徑為，

設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)MA或MB的方程為

化為，則，解得.

不妨設(shè)直線(xiàn)MD的方程為，

將直線(xiàn)MD與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立

消去x得.

設(shè)，則

∴，

同理設(shè)，.

∴，

∴直線(xiàn)l的斜率

∴直線(xiàn)l的方程為，即

∴l的方程，

此時(shí)圓心Q到直線(xiàn)l的距離

∴直線(xiàn)l與圓Q相離

(法二)圓Q的方程可化為.

圓心，半徑為.

由題知，直線(xiàn)l的斜率必存在，

設(shè)l的方程為.

聯(lián)立，消去x得

由，得，①

設(shè)

則，，②

直線(xiàn)MD的斜率為

直線(xiàn)MD的方程式為，

即

∵MD與圓Q相切，∴

∴，∴

由題知：，

或，

代入②得，

∴，滿(mǎn)足①式，

∴直線(xiàn)l得方程為，即.

此時(shí)圓心Q到直線(xiàn)l的距離.

∴直線(xiàn)l與圓Q相離.