Question

在銳角△ABC中，已知cosA=

10

10

，cosC=

5

5

，BC=3．求：
（1）△ABC的面積；（2）AB邊上的中線CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，sinA=

3 10

10

，sinC=

2 5

5

，由正弦定理可得，

BC

sinA

=

AB

sinC

 可求AB，利用三角形的內(nèi)角和及和角公式可求sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，再由三角形的面積公式可得，S△ABC=

1

2

acsinB可求
（2）由（1）可求cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，由余弦定理，CD²=BC²+BD²-2BC•BDcosB可求CD

解答：解：（1）由cosA=

10

10

，cosC=

5

5

可得，sinA=

3 10

10

，sinC=

2 5

5

由正弦定理可得，

BC

sinA

=

AB

sinC

∴AB=

3× 2 5 5

3 10 10

=2

2

∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=

3 10

10

×

5

5

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

由三角形的面積公式可得，S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×3×2

2

×

2

2

=3
（2）由題意可得△BDC中，BC=3，BD=

2

∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=-

10

10

×

5

5

+

3 10

10

×

2 5

5

=

2

2

由余弦定理可得，CD²=BC²+BD²-2BC•BDcosB=9+2-2×3×

2

×

2

2

=5
∴CD=

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角平方關(guān)系，和角的正弦與余弦公式的應(yīng)用，三角形的面積公式及正弦定理與余弦定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，知識(shí)較多，但都是基本應(yīng)用，試題的難度不大．