Question

已知向量與向量的夾角為，在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c且a=2．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若sinB是sinA和sinC的等比中項，求△ABC的面積．

Answer 1

解：（I）由題意可得cos=====sin，
解得 sin=，∴=，B=．
（Ⅱ）由（I）可得sinB=，若sinB是sinA和sinC的等比中項，則有sin²B=sinA•sinC=．
再由正弦定理可得b²=ac=2c．
再由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=4+c²-4c×=c²-2c+4．
故有 2c=c²-2c+4，解得 c=2．
故△ABC的面積為 =．
分析：（I）由兩個向量的夾角公式求出sin=，可得角B的值．
（Ⅱ）由（I）得sinB=，由sinB是sinA和sinC的等比中項得sin²B=sinA•sinC，再由正弦定理可得b²=ac
=2c，再由由余弦定理可得b²=c²-2c+4，由此可得2c=c²-2c+4，解得c的值，由 求得△ABC的面積．
點評：本題主要考查兩個向量的夾角公式，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．