Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-3a²．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求f（x）的最小值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把二次函數(shù)f（x）的解析式配方，利用配方法求函數(shù)的值域．
（2）配方，確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)區(qū)間[1，4]，分類(lèi)討論，可求函數(shù)f（x）最小值；
（3）對(duì)于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意x∈[1，4]，f（x）_min≥-4a恒成立，故可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a=1，∴函數(shù)f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-4，+∞）．
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，對(duì)稱(chēng)軸為x=a．
當(dāng)a＜1時(shí)，在區(qū)間[1，4]上函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）最小值為f（1）=1-2a-3a²；
當(dāng)1≤a≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，4]上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）最小值為f（a）=-4a²；
當(dāng)a＞4時(shí)，在區(qū)間[1，4]上函數(shù)單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）最小值為f（4）=16-8a-3a²；
（3）對(duì)于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意x∈[1，4]，f（x）_min≥-4a恒成立
由（2）知，

a＜1 1-2a-3a2≥-4a

或

1≤a≤4 -4a2≥-4a

或

a＞4 16-8a-3a2≥-4a

∴-

1

3

≤a＜1或a=1
∴-

1

3

≤a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．