Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁₀=1，S₂₀=0．
（1）求數(shù)列{|a_n|}的前20項(xiàng)的和；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：log₂b_n=a_n+10，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁₀=1，S₂₀=0．
∴

a1+9d=1 20a1+ 20×19 2 d=0

，解得a₁=19，d=-2，
∴a_n=19+（n-1）（-2）=21-2n，
可見(jiàn)，n≤10時(shí)，a_n＞0，n＞10時(shí)，a_n＜0，
記等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則數(shù)列{|a_n|}的前20項(xiàng)的和：
T_n=a₁+a₂+…+a₁₀-a₁₁-a₁₂-…-a₂₀
=S₁₀+[-（S₂₀-S₁₀）]=2S₁₀-S₂₀=2S₁₀，
而a₁=19，∴Tn=2S10=2[

19+1

2

×10]=200．
（2）由log₂b_n=a_n+10得，bn=2an+10=21-2n，
因?yàn)?span >

bn+1

bn

=

2-1-2n

21-2n

=

1

4

，
所以數(shù)列{b_n}是以b1=

1

2

為首項(xiàng)，q=

1

4

為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為

1 2 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

2

3

-

2

3

•(

1

4

)n．