Question

（2011•懷柔區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（I）欲求在點(diǎn)x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．
（II）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，再求出極值即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-4lnx-1，
∴f（1）=0
又f′(x)=2x-

4

x

=

2(x2-2)

x

，
∴f′（1）=-2
所以y-0=-2（x-1）
即f（x）在x=1處的切線方程為2x+y-2=0-------------（5分）
（II）因?yàn)閒（x）=x²-2alnx-1（a≠0）
所以f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x2-a)

x

（x＞0）--------------（6分）
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，
因?yàn)閤＞0，且x²-a＞0，
所以f'（x）＞0對(duì)x＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）無極值---------------------（8分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，
令f'（x）=0，解得x₁=

a

，x₂=-

a

（舍）------------------------（10分）
所以，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

	x	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
	f'（x）	-	0	+
	f（x）	↘	極小值	↗

------------------------------------------------（12分）
所以，當(dāng)x=

a

時(shí)，f（x）取得極小值，且f（x）_極小值=a-alna-1．
綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，方程f'（x）=0無解，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x=

a

處取得極小值f（x）_極小值=a-alna-1．--------------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．