Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-lnx，g（x）=2x³-9x²+12x-3．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程g（x）=k有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得函數(shù)的極值，利用關(guān)于x的方程g（x）=k有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)g（x）_極小值＜k＜g（x）_極大值，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，x＞0，可得x＞1；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜1，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，1）；
（2）g′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令g′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令g′（x）＜0，可得1＜x＜2，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（1，2）
∴函數(shù)g（x）在x=1處取得極大值2，在x=2處取得極小值1
∵關(guān)于x的方程g（x）=k有三個(gè)零點(diǎn)
∴g（x）_極小值＜k＜g（x）_極大值
∴1＜k＜2．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，確定函數(shù)的極值是關(guān)鍵．