Question

選做題：不等式選講
（Ⅰ） 設(shè)a₁，a₂，a₃均為正數(shù)，且a₁+a₂+a₃=m，求證

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

m

．
（Ⅱ） 已知a，b都是正數(shù)，x，y∈R，且a+b=1，求證：ax²+by²≥（ax+by）²．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可分別求得a₁+a₂+a₃和

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

的最小值，兩式相乘即可求得 (

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)•m的最小值，整理后原式得證．
（II）ax²+by²乘以一個：“1=a+b”后得：（ax²+by²）（a+b）=a²x²+b²y²+ab（x²+y²）≥a²x²+b²y²+2abxy=（ax+by）²

解答：證明：（I）∵(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)•m=(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥3

3	a1•a2•a3

•3

3	1 a1 • 1 a2 • 1 a3

=9，
當(dāng)且僅當(dāng) a1=a2=a3=

m

3

時等號成立．
又∵m=a₁+a₂+a₃＞0，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

m

．
（II）ax²+by²=（ax²+by²）（a+b）=a²x²+b²y²+ab（x²+y²）≥a²x²+b²y²+2abxy=（ax+by）²．…（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用．解題的時候要特別注意等號成立的條件．