Question

已知圓M的方程為x²+（y-2）²=1，直線l的方程為x-2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B。
（1）若∠APB=60°，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)∠APB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求證：經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）由題意知，△PAB為等邊三角形，所以線段AB的長(zhǎng)就是切線長(zhǎng)PA，
法一：∵∠APB=60°，由題可知MP=2，
∴；
法二：∵∠APB=60°，
∴等腰三角形MAB中，∠AMB=120°
而半徑MA=1，
∴；
（2）記∠APB=2θ，則在直角三角形MAP中，有，
當(dāng)∠APB最大時(shí)，有MP最小，此時(shí)MP垂直于直線直線l：x-2y=0，
設(shè)P（2m，m），
∵M(jìn)（0，2），
∴，
∴，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為；
（3）設(shè)P（2m，m），MP的中點(diǎn)，因?yàn)镻A是圓M的切線，
所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為：
化簡(jiǎn)得：，
此式是關(guān)于m的恒等式，
故解得或，
所以經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)（0，2）或（1，1）。