Question

已知

a

=(cos

3θ

2

，sin

3θ

2

)，

b

=(cos

θ

2

，-sin

θ

2

)，且θ∈[0，

π

3

]．求

a • b

| a + b |

的最值．

Answer 1

分析：先根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算表示出

a

•

b

，再由θ的范圍確定|

a

+

b

|的表達(dá)式，從而代入可以得到

a • b

| a + b |

=cosθ-

1

2cosθ

，令t=cosθ代入轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=t-

1

2t

，t∈[

1

2

，1]，再由其單調(diào)性可解題．

解答：解：

a

•

b

=cos

3θ

2

cos

θ

2

-sin

3θ

2

sin

θ

2

=cos2θ
∵θ∈[0，

π

3

]?∴|

a

+

b

|=

12+12+2cos2θ

=

2(1+cos2θ)

=

2•2cos2θ

=|2cosθ|=2cosθ
所以

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=

2cos2θ-1

2cosθ

=cosθ-

1

2cosθ

因?yàn)?span id="tgwxy7a" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">θ∈[0，

π

3

]，所以cosθ∈[

1

2

，1]，
又函數(shù)y=t-

1

2t

在t∈[

1

2

，1]上是增函數(shù)
當(dāng)cosθ=1，即θ=0時，

a • b

| a + b |

取得最大值

1

2

；
當(dāng)cosθ=

1

2

，即θ=

π

3

時，

a • b

| a + b |

取得最小值-

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量模的運(yùn)算．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考的熱點(diǎn)，每年必考．