Question

【題目】已知函數(shù).證明：

（1）存在唯一的極值點；

（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯一，使得，進而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定其極值點個數(shù)，證明出結(jié)論成立；

（2）先由（1）的結(jié)果，得到，，得到在內(nèi)存在唯一實根，記作，再求出，即可結(jié)合題意，說明結(jié)論成立.

（1）由題意可得，的定義域為，

由，

得，

顯然單調(diào)遞增；

又，，

故存在唯一，使得；

又當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

因此，存在唯一的極值點；

（2）由（1）知，，又，

所以在內(nèi)存在唯一實根，記作.

由得，

又，

故是方程在內(nèi)的唯一實根；

綜上，有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).