Question

寫(xiě)出適合下列條件的曲線(xiàn)方程：
（1）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0）并且經(jīng)過(guò)(

5

2

，-

3

2

)求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知雙曲線(xiàn)兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P到F₁，F(xiàn)₂距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．根據(jù)題意利用橢圓的定義，得到2a=2

10

，從而得出a=

10

，再根據(jù)c=2利用平方關(guān)系算出b²=6，即可得到所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)題意設(shè)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，利用雙曲線(xiàn)的定義得到2a=6，可得a=3．結(jié)合c=5利用平方關(guān)系算出b²=16，即可得到該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），且(

5

2

，-

3

2

)在橢圓上，
∴由橢圓的定義，可得
2a=

( 5 2 +2)2+(- 3 2 )2

+

( 5 2 -2)2+(- 3 2 )2

=2

10

，從而得到a=

10

，
又∵c=2，∴b²=a²-c²=6，
因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

10

+

y2

6

=1；
（2）∵雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
∵雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P到F₁、F₂距離差的絕對(duì)值等于6，
∴根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，可得2a=6，可得a=3
又∵c=5，∴b²=c²-a²=25-9=16．
因此，所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

-

y2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓、雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足的條件，求它們的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓、雙曲線(xiàn)的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．