如圖,四棱錐的底面是正方形,
⊥底面
,點(diǎn)
在棱
上.
(1)求證:平面⊥平面
;
(2)當(dāng)且
為
的中點(diǎn)時(shí),求
與平面
所成角的正弦值.
(Ⅰ)利用線面垂直證明面面垂直;(Ⅱ) .
【解析】
試題分析:(Ⅰ)∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,
又,∴平面AEC⊥平面PDB. (6分)
(Ⅱ)方法一:如圖1,設(shè)AC∩BD=O,連接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角,
∵O,E分別為DB、PB的中點(diǎn),∴OE∥PD,且OE=PD,
又∵PD⊥底面ABCD, ∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,由PD=AB,
設(shè),則
,
,∴
,于是
,
即AE與平面PDB所成角的正弦值為. (12分)
方法二:如圖2,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz,
設(shè),AE與平面PDB所成的角為
,
則,
,
,
,
于是,所以
,
且平面的法向量
,所以
,
即AE與平面PDB所成角的正弦值為. (12分)
考點(diǎn):本題考查了空間中的線面關(guān)系及空間角的求法
點(diǎn)評(píng):直線和平面成角的重點(diǎn)是研究斜線和平面成角,常規(guī)求解是采用“作、證、算”,但角不易作出時(shí),可利用構(gòu)成三條線段的本質(zhì)特征求解,即分別求斜線段、射影線段、點(diǎn)A到平面的距離求之.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(09年朝陽(yáng)區(qū)二模文)(13分)
如圖,四棱錐的底面是矩形,
底面
,
為
邊的中點(diǎn),
與平面
所成的角為
,且
,
.
(Ⅰ) 求證:平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(09年山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷三理)(13分)如圖:四棱錐的底面
是提醒,腰
,
平分
且與
垂直,側(cè)面
都垂直于底面,平面
與底面
成60°角
(1)求證:
;
(2)求二面角
的大小
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省高三第八次月考文科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,
平面
,
,
,
點(diǎn)是
上的點(diǎn),且
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求的值,使
平面
;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求三棱錐
與四棱錐
的體積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省高三上學(xué)期摸底理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
((本小題滿分14分)如圖,四棱錐的底面
是正方形,側(cè)棱
底面
,
,
、
分別是棱
、
的中點(diǎn).
(1)求證:; (2) 求直線
與平面
所成的角的正切值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學(xué)試卷 題型:填空題
(本小題滿分12 分)
如圖,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為
的菱形,
,
平面
,
,
為
的中點(diǎn),O為底面對(duì)角線的交點(diǎn);
(1)求證:平面平面
;
(2)求二面角的正切值。
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