【題目】已知
.
（1）求函數
的單調區(qū)間；
（2）若對任意
，都有
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】
（1）求出函數
的定義域和導數，對
分
和
兩種情況，分析
在
上的符號，可得出函數的單調區(qū)間；
（2）由
，轉化為
，構造函數
，且有
，問題轉化為
，對函數
求導，分析函數的單調性，結合不等式求出實數的取值范圍.
（1）函數
的定義域為，
.
①當時，對任意的
，
，此時，函數的單調遞減區(qū)間為；
②當時，令，得
；令
，得
.
此時，函數的單調遞減區(qū)間為
，單調遞增區(qū)間為
；
（2）
，即
，得
，
又
，不等式兩邊同時除以
，得
，即.
易知，由題意可知對任意的恒成立，
.
①若，則當
時，
，
，此時
，
此時，函數在
上單調遞減，則
，不合乎題意；
②若，對于方程
.
（i）當
時，即
，
恒成立，
此時，函數在上單調遞增，則有，合乎題意；
（ii）當
時，即
時，
設方程的兩個不等實根分別為
、
，且
，
則
，
，所以，
，
，
.
當
時，；當
時，
，
，不合乎題意.
綜上所述，實數的取值范圍是.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質量分別在
，
，
，
，
，
（單位：克）中，經統計，頻率分布直方圖如圖所示：
（1）估計這組數據的平均數（同一組中的數據以這組數據所在區(qū)間中點的值作代表）；
（2）現按分層抽樣從質量為，的芒果中隨機抽取5個，再從這5個中隨機抽取2個，求這2個芒果都來自同一個質量區(qū)間的概率；
（3）某經銷商來收購芒果，同一組中的數據以這組數據所在區(qū)間中點的值作代表，用樣本估計總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有1000個，經銷商提出以下兩種收購方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收購
方案②：對質量低于250克的芒果以2元/個收購，對質量高于或等于250克的芒果以3元/個收購.通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多.
參考數據：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】．
為了解某校高三學生質檢數學成績分布，從該校參加質檢的學生數學成績中抽取一個樣本，并分成5組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖．若第一組至第五組數據的頻率之比為
，最后一組數據的頻數是6．
（Ⅰ）估計該校高三學生質檢數學成績在125～140分之間的概率，并求出樣本容量；
（Ⅱ）從樣本中成績在65～95分之間的學生中任選兩人，求至少有一人成績在65～80分之間的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，已知曲線
：
和曲線
：
，以極點
為坐標原點，極軸為
軸非負半軸建立平面直角坐標系.
（1）求曲線和曲線的直角坐標方程；
（2）若點
是曲線上一動點，過點作線段
的垂線交曲線于點
，求線段
長度的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
，對任意實數
，
均滿足
，且
，數列
，
滿足
，
，則下列說法正確的有_____
①數列為等比數列；
②數列為等差數列；
③若
為數列
的前n項和，則
；
④若
為數列{
}的前
項和，則
；
⑤若
為數列{
}的前項和，則
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖幾何體是圓錐的一部分，它是Rt△ABC（及其內部）以一條直角邊AB所在直線為旋轉軸旋轉150°得到的，AB＝BC＝2，P是弧
上一點，且EB⊥AP.
（1）求∠CBP的大小；
（2）若Q為AE的中點，D為弧
的中點，求二面角Q﹣BD﹣P的余弦值；
（3）直線AC上是否存在一點M，使得B、D、M、Q四點共面？若存在，請說明點M的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）求函數
的單調區(qū)間；
（2）若函數
的圖象在點
處的切線的斜率為1，問：
在什么范圍取值時，對于任意的
，函數
在區(qū)間
上總存在極值？
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