Question

（2003•崇文區(qū)一模）已知f（x）=

3

sin2x+2cos2x+m（m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)x∈R時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為6，求m的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，輔角公式化成 f（x）=2sin(2x+

π

6

)+m+1
（Ⅰ）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)求單調(diào)遞減區(qū)間．
（II）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求出2x+

π

6

的范圍，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值表達(dá)式，解關(guān)于m的方程．

解答：解：（I）f(x)=

3

sin2x+cos2x+1+m
=2sin(2x+

π

6

)+m+1．…（3分）
當(dāng)2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)，
即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，…（6分）
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．…（7分）
（II）解：當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]．…（10分）
又f（x）的最大值為6，即2×1+m+1=6，
∴m=3…（12分）

點(diǎn)評(píng)：題考查二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)性質(zhì)，整體思想．屬于常規(guī)題目．