Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左頂點是A，過焦點F（c，0）（c＞0，為橢圓的半焦距）作傾斜角為θ的直線（非x軸）交橢圓于M，N兩點，直線AM，AN分別交直線x=

a2

c

（稱為橢圓的右準線）于P，Q兩點．
（1）若當θ=30°時有

MF

=3

FN

，求橢圓的離心率；
（2）若離心率e=

2

2

，求證：

FP

•

FQ

為定值．

Answer 1

分析：（1）作MM₁，NN₁垂直準線于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，設|NF|=m，則|FM|=3m，根據(jù)橢圓的第二定義有：|NN1| =

m

e

，|MM1| =

3m

e

，故|MH|=

2m

e

，在Rt△NMH中，∠NMH=30°，由此能求出e．
（2）當e=

2

2

時，a=

2

c，則橢圓方程化為：x²+2y²-2c²=0，準線：x=

a2

c

=2c，設MN的方程為x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），由A，M，P三點共線，得P(2c，

(a+2c)y1

x1+a

)，

FP

=(c，

(a+2c)y1

x1+a

)，由A，N，Q三點共線，得Q（2c，

(a+2c)y2

x2+a

），

FQ

=(c，

(a+2c)y2

x2+a

)，由此能夠證明

FP

•

FQ

為定值．

解答：解：（1）如圖，作MM₁，NN₁垂直準線于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，
設|NF|=m，則|FM|=3m，根據(jù)橢圓的第二定義有：
|NN1| =

m

e

，|MM1| =

3m

e

，∴|MH|=

2m

e

，
在Rt△NMH中，∠NMH=30°，
∴

|MH|

|MN|

=

2m e

4m

=cos30°，
解得e=

3

3

．
（2）當e=

2

2

時，a=

2

c，
則橢圓方程化為：x²+2y²-2c²=0，
準線：x=

a2

c

=2c，
設MN的方程為x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），
由A，M，P三點共線，得P(2c，

(a+2c)y1

x1+a

)，

FP

=(c，

(a+2c)y1

x1+a

)，
由A，N，Q三點共線，得Q（2c，

(a+2c)y2

x2+a

），

FQ

=(c，

(a+2c)y2

x2+a

)，

FP

•

FQ

=c2+

(a+2c)2y1y2

x1x2+a(x1+x2  )+a2

，①
把x=ty+c代入x²+2y²-2c²=0，得（2+t²）y²+2cty-c²=0，

y1+y2=- 2ct 2+t2 y1y2 =- c2 2+t2

，
∴(a+2c)2y1y2=-

c2(a+2c)2

2+t2

，②
x1x2+a(x1+x2)+a2
=t2y1 y2+(ct+at)(y1+y2)+(a+c) 2
=t2(-

c2

2+t

)+(ct+at)(-

2ct

2+t2

)+(a+c)2
=

(a2-2c2)t2+2(a+c)2

2+t2

=

2(a+c)2

2+t2

．③
∵a=

2

c，
∴將②③代入①，整理得

FP

•

FQ

=c2-

c2(a+2c)2

2(a+c)2

=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法和向量數(shù)量積為定值的證明，具體涉及到橢圓的簡單性質，根與系數(shù)的關系，橢圓的離心率等基本知識的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．