Question

（理科）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F₁，直線與x軸交于點(diǎn)A，若（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（1）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，線段EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定A，F(xiàn)₁的坐標(biāo)，利用建立方程，從而可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，利用配方法可求．
解答：解：（1）由題設(shè)知，，F(xiàn)₁（）
∵，∴
∴a²=6
∴橢圓M的方程為；
（2）∵圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為點(diǎn)N
∴===
從而將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值
P是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)P（x，y），則有，即x²=6-3y²，
又N（0，2），∴=x²+（y-2）²=-2（y+1）²+12
∵，∴當(dāng)y=-1時(shí)，取最大值12
∴的最大值為11．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積，考查配方法求函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題