Question

如圖，已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，橢圓C與x軸的兩交點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），且∠APB=2α，∠F₁PF₂=2β．
（Ⅰ）若β=45°，三角形F₁PF₂的面積為36，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動，試證明tanβ•tan2α為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意三角形F₁PF₂為直角三角形，所以，即，結(jié)合三角形F₁PF₂的面積為36，可求得b²=36，利用橢圓C的離心率為，可得a²=100，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不妨設(shè)點(diǎn)P（x，y）在第一象限，則在三角形PF₁F₂中，，從而可得4c²=4a²-2|PF₁||PF₂|（1+cos2β），進(jìn)而有=．
由，可得．作PC⊥x軸，垂足為C，故可求得，進(jìn)而得，利用離心率，可求tanβ•tan2α是定值．
解答：解：（Ⅰ）∵∠F₁PF₂=2β=90°
∴三角形F₁PF₂為直角三角形，
∴，
∴，
∵三角形F₁PF₂的面積為36，
∴，
∴|PF₁||PF₂|=72
∴（2a）²-2×72=（2c）²，
∴b²=36．                                              …（2分）
∵橢圓C的離心率為，則，即，
∴a²=100，
∴橢圓C的方程為．                            …（4分）
（Ⅱ）不妨設(shè)點(diǎn)P（x，y）在第一象限，則在三角形PF₁F₂中，，
∴，
即4c²=4a²-2|PF₁||PF₂|（1+cos2β），
∴．
∴=．
∵，
∴b²tanβ=cy，即．                           …（6分）
作PC⊥x軸，垂足為C．
∵，，
∴．
∵，∴．
∴．                 …（8分）

∴，
∵離心率，
∴．
∴tanβ•tan2α是定值，其值為．                           …（10分）
點(diǎn)評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查焦點(diǎn)三角形的面積計算，考查余弦定理的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．