Question

【題目】祖暅是我國古代的偉大科學家，他在5世紀末提出祖暅：“冪勢即同，則積不容異”，意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等. 祖暅原理常用來由已知幾何體的體積推導未知幾何體的體積，例如由圓錐和圓柱的的體積推導半球體的體積，其示意圖如圖所示，其中圖(1)是一個半徑為R的半球體，圖(2)是從圓柱中挖去一個圓錐所得到的幾何體. (圓柱和圓錐的底面半徑和高均為R)

利用類似的方法，可以計算拋物體的體積：在x-O-y坐標系中，設拋物線C的方程為y=1－x2 (－1x1)，將曲線C圍繞y軸旋轉(zhuǎn)，得到的旋轉(zhuǎn)體稱為拋物體. 利用祖暅原理可計算得該拋物體的體積為_________.

Answer 1

【答案】

【解析】分析：構(gòu)造直三棱柱，證明二者截面面積相等，從而求出三棱柱體積，即可得到拋物體的體積.

詳解：構(gòu)造如圖所示的直三棱柱，高設為x，底面兩個直邊長為2,1

若底面積相等得到：，

下面說明截面面積相等，設截面距底面為t，矩形截面長為a，圓形截面半徑為r，

由左圖得到，，∴，∴截面面積為

由右圖得到，（坐標系中易得），∴，∴截面面積為

∴二者截面面積相等，∴體積相等.

∴拋物體的體積為.