Question

設(shè)函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最大值．
（2）令，以其圖象上任一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

易知f（x）在（0，1]上遞增，在[1，+∞）上遞減，故f（x）的最大值為．（6分）
（2），．
由題意，x₀∈（0，3]恒成立，即在x₀∈（0，3]上恒成立．
易知當(dāng)x₀=1時(shí)，取得最大值，
故． （12分）
分析：（1）當(dāng)時(shí)，求出f（x），進(jìn)而求得f′（x），由f′（x）的符號(hào)判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出f（x）的最大值．
（2）求出，由題意可得 在x₀∈（0，3]上恒成立，易知當(dāng)x₀=1時(shí)，取得最大值，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點(diǎn)的切線斜率，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．