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        1. 已知=(c,0)(c>0),=(n,n)(n∈R),||的最小值為1,若動點P同時滿足下列三個條件:
          ①|(zhì)|=||(a>c>0);
           (其中=(,t),λ≠0,t∈R);
          ③動點P的軌跡C經(jīng)過點B(0,-1).
          (Ⅰ)求c的值;
          (Ⅱ)求曲線C的方程;
          (Ⅲ)是否存在方向向量為a=(1,k)(k≠0)的直線l,使l與曲線C交于兩個不同的點M、N,且||=||?若存在,求出k的范圍;若不存在,請說明理由.
          【答案】分析:(Ⅰ):由向量模的公式得出||==,利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出其最小值,從而求得c值.
          (Ⅱ)先根據(jù)條件得到:||=||(a>c>0).從而得出點P在以F為焦點,x=為準(zhǔn)線的橢圓上,從而=|-x|,最后將點B(0-1)代入,解得a即可寫出曲線C的方程;
          (Ⅲ)對于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)存在方向向量為a=(1,k)(k≠0)的直線l滿足條件,則可設(shè)l:y=kx+m(k≠0),再利用△ABC為正三角形,求出CD的長,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
          假設(shè)存在方向向量為a=(1,k)(k≠0)的直線l滿足條件,則可設(shè)l:y=kx+m(k≠0),將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合垂直關(guān)系即可求得k的范圍,從而解決問題.
          解答:解:(Ⅰ):||==,
          當(dāng)n=時,||min==1,所以c=.(3分)
          (Ⅱ)∵ (λ≠0),∴PE⊥直線x=,又||=||(a>c>0).
          ∴點P在以F為焦點,x=為準(zhǔn)線的橢圓上.(5分)
          設(shè)P(x,y),則有=|-x|,點B(0-1)代入,解得a=
          ∴曲線C的方程為 +y2=1                                       (7分)
          (Ⅲ)假設(shè)存在方向向量為a=(1,k)(k≠0)的直線l滿足條件,則可設(shè)l:y=kx+m(k≠0),
          與橢圓+y2=1聯(lián)立,消去y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.(10分)
          由判別式△>0,可得m2<3k2+1.①
          設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點P(x,y),由|BM|=|BN|,則有BP⊥MN.
          由韋達定理代入kBP=-,可得到m=               ②
          聯(lián)立①②,可得到  k2-1<0,(12分)
          ∵k≠0,∴-1<k<0或0<k1.
          即存在k∈(-1,0)∪(0,1),使l與曲線C交于兩個不同的點M、N,且||=||.(14分)z
          點評:本小題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用、直線與圓錐曲線的綜合問題,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點為B,點S是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線AB,BS與直線l:x=
          10
          3
          分別交于M,N兩點.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)求線段MN的長度的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點為B,點S是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線AS,BS與直線l:x=
          10
          3
          分別交于M,N兩點.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)求線段MN的長度的最小值;
          (3)當(dāng)線段MN的長度最小時,在橢圓C上是否存在這樣的點T,使得△TSB的面積為
          1
          5
          ?若存在,確定點T的個數(shù),若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知直線x-2y+4=0經(jīng)過橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左頂點A和上頂點D,橢圓C的右頂點為B,點P是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線AP,BP與直線l:x=5分別交于M,N兩點.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)求線段MN的長度的最小值;
          (3)當(dāng)線段MN的長度最小時,Q點在橢圓上運動,記△BPQ的面積為S,當(dāng)S在(0,+∞)上變化時,討論S的大小與Q點的個數(shù)之間的關(guān)系.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知
          OF
          =(c,0)(c>0),
          OG
          =(n,n)(n∈R),|
          FG
          |的最小值為1,若動點P同時滿足下列三個條件:
          ①|(zhì)
          PF
          |=
          c
          a
          |
          PE
          |(a>c>0);
          PE
          OF
           (其中
          OE
          =(
          a2
          c
          ,t),λ≠0,t∈R);
          ③動點P的軌跡C經(jīng)過點B(0,-1).
          (Ⅰ)求c的值;
          (Ⅱ)求曲線C的方程;
          (Ⅲ)是否存在方向向量為a=(1,k)(k≠0)的直線l,使l與曲線C交于兩個不同的點M、N,且|
          BM
          |=|
          BN
          |?若存在,求出k的范圍;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江西省高三第一次統(tǒng)考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

          已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線y=x+與以原點為圓心,以橢圓C的短半軸長為半徑

          的圓相切,F(xiàn)1,F(xiàn)2為其左、右焦點,P為橢圓C上任一點,△F1PF2的重心為G,內(nèi)心為I,且IG∥F1F2。⑴

          求橢圓C的方程。⑵若直線L:y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點A,B且線段AB的垂直平分線過定點

          C(,0)求實數(shù)k的取值范圍。

           

           

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