Question

已知直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：x=

10

3

分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使得△TSB的面積為

1

5

？若存在，確定點(diǎn)T的個數(shù)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�過橢圓的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，故可解出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即知橢圓的長半軸長與短半軸長，依定義寫出橢圓的方程即可．
（2）法一、引入直線AS的斜率k，用點(diǎn)斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及點(diǎn)S的坐標(biāo)，又點(diǎn)B的坐標(biāo)已知，故可解 出直線SB的方程，亦用參數(shù)k表示的方程，使其與直線l聯(lián)立，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，故線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數(shù)，根據(jù)其形式選擇單調(diào)性法或者基本不等式法求最值，本題適合用基本不等式求最值．
法二、根據(jù)圖形構(gòu)造出了可用基本不等式的形式來求最值．
（3）在上一問的基礎(chǔ)上求出參數(shù)k，則直線SB的方程已知，可求出線段AB的長度，若使面積為

1

5

，只須點(diǎn)T到直線BS的距離為

2

4

即可，由此問題轉(zhuǎn)化為研究與直線SB平行且距離為

2

4

的直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)問題，下易證

解答：解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-2，0），
上頂點(diǎn)為D（0，1），∴a=2，b=1
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1（4分）
（2）依題意，直線AS的斜率k存在，且k＞0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(

10

3

，

16k

3

)，由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設(shè)S（x₁，y₁），則(-2)×x1=

16k2-4

1+4k2

得x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

即S(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，（6分）
又B（2，0）由

y=- 1 4k (x-2) x= 10 3

得

x= 10 3 y=- 1 3k

，
∴N(

10

3

，-

1

3k

)，（8分）
故|MN|=|

16k

3

+

1

3k

|
又k＞0，∴|MN|=

16k

3

+

1

3k

≥2

16k 3 • 1 3k

=

8

3

當(dāng)且僅當(dāng)

16k

3

=

1

3k

，即k=

1

4

時等號成立．
∴k=

1

4

時，線段MN的長度取最小值

8

3

（10分）

（2）另解：設(shè)S（x_s，y_S），M(

10

3

，yM)依題意，A，S，M三點(diǎn)共線，且所在直線斜率存在，
由k_AM=k_AS，可得yM=

16

3

•

ys

xs+2

同理可得：y N=

4

3

•

ys

xs-2

又

x 2 s

4

+

y

2 s

=1
所以，yM•yN=

64

9

•

y 2 s

x 2 s -4

=

64

9

(-

1

4

)=-

16

9

不仿設(shè)y_M＞0，y_N＜0|MN|=|yM-yN|=yM+(-yN)≥2

-yM•yN

=

8

3

當(dāng)且僅當(dāng)y_M=-y_N時取等號，
即yM=

4

3

時，線段MN的長度取最小值

8

3

．

（3）由（2）可知，當(dāng)MN取最小值時，k=

1

4

此時BS的方程為x+y-2=0，s(

6

5

，

4

5

)，∴|BS|=

4 2

5

（11分）
要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于

1

5

，只須T到直線BS的距離等于

2

4

，
所以T在平行于BS且與BS距離等于

2

4

的直線l'上．
設(shè)直線l'：x+y+t=0，則由

|t+2|

2

=

2

4

，解得t=-

3

2

或t=-

5

2

．
又因?yàn)門為直線l'與橢圓C的交點(diǎn)，所以經(jīng)檢驗(yàn)得t=-

3

2

，此時點(diǎn)T有兩個滿足條件．（14分）

點(diǎn)評：本題是解析幾何中直線與圓錐曲線位置關(guān)系中很復(fù)雜的題目，要求答題者擁有較高的探究轉(zhuǎn)化能力以及對直線與圓錐曲線位置關(guān)系中特征有較好 的理解，且符號運(yùn)算能力較強(qiáng)才能勝任此類題的解題工作，這是一個能力型的題，好題．