Question

已知圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線l經(jīng)過點P（0，-2）
（1）當直線l與圓相切時，求此時直線l的方程；
（2）已知點M在圓C上運動，求點M到直線l的距離的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）將圓C方程化為標準方程，找出圓心坐標與半徑r，當直線l斜率不存在時，顯然x=0符合題意；當直線l斜率存在時，設(shè)為k，根據(jù)P坐標與k寫出直線l方程，由直線與圓相切，圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時直線l方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；
（2）當直線l⊥線段CP時，圓心C到直線的距離即為CP的長，當直線l不垂直線段CP時，圓心到直線的距離d＜|CP|，可得動點M到直線的最大距離為|CP|+r，利用兩點間的距離公式求出|CP|的長，進而確定出最大距離；再由直線CP與直線l垂直，得到斜率的乘積為-1，求出直線l的斜率，由斜率與P坐標即可確定出直線l的方程．

解答：解：（1）圓的方程可整理成（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圓心為C（1，1），半徑r=1，
分兩種情況考慮：
當直線的斜率不存在，即直線垂直于x軸時，直線與圓相切，符合題意，
此時直線方程為x=0；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx-2，
∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離d=r，即

|k-2-1|

k2+1

=1，
解得：k=

3

4

，直線方程為y=

3

4

x-2，
綜上，切線方程為x=0或y=

3

4

x-2；
（2）當直線l⊥線段CP時，圓心C到直線的距離即為CP的長，當直線l不垂直線段CP時，圓心到直線的距離d＜|CP|，
∴動點M到直線的最大距離為|CP|+r=

(1-0)2+(1+2)2

+1=

10

+1；
此時直線的斜率k滿足k•k_CP=k•

-2-1

0-1

=-1，解得：k=-

1

3

，
∴M到直線的最大距離為

10

+1，直線方程為y=-

1

3

x-2．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，以及直線的點斜式方程，是一道綜合性較強的試題．