Question

【題目】已知數(shù)列，，…，的項(xiàng)，其中…，，，其前項(xiàng)和為，記除以3余數(shù)為1的數(shù)列，，…，的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，.

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并化簡(jiǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2），

【解析】

（1）根據(jù)題意這6項(xiàng)中包含2個(gè)1或5個(gè)1，其余均為2，這樣的數(shù)列共有個(gè)，即可得解；

（2）這項(xiàng)中包含2個(gè)1或5個(gè)1……或個(gè)1，其余均為2，所以，結(jié)合除以3余數(shù)為2，0的數(shù)列，，…，的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列分別為，，根據(jù)規(guī)律猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

解：（1）因?yàn)榍傲��?xiàng)的和除以3余數(shù)為1

所以這6項(xiàng)中包含2個(gè)1或5個(gè)1，其余均為2，

所以這樣的數(shù)列共有個(gè)，故

（2）因?yàn)?/span>，，…，和除以3余數(shù)為1，

所以這項(xiàng)中包含2個(gè)1或5個(gè)1……或個(gè)1，其余均為2，

所以，設(shè)除以3余數(shù)為2，0的數(shù)列，，…，的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列分別為，

同理，，

∵

∵

結(jié)合（1）猜想，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)時(shí)，，成立

假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，成立，且，

則當(dāng)時(shí)，數(shù)列共項(xiàng)，分兩步看，第一步先看前項(xiàng)，前項(xiàng)的和除以3余數(shù)為1，2，0的數(shù)列的個(gè)數(shù)分別為，，，第二步看后6項(xiàng)，最后6項(xiàng)的和除以3眾數(shù)為0，2，1的數(shù)列的個(gè)數(shù)分別為22，21，21

∴

所以當(dāng)時(shí)，猜想也成立

綜上，，