【題目】如圖，在圓臺
中，平面
過上下底面的圓心
，
，點M在
上，N為
的中點，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）當
時，
與底面
所成角的正弦值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）利用圓的性質(zhì)和圓臺高的性質(zhì)可以證明出
平面
，再利用面面垂直的判定定理證明出平面
平面；
（2）求
可知：
，故分別
，
，
為x，y，z軸建立空間直角坐標系.利用空間向量根據(jù)已知可以求出圓臺的高，最后利用空間向量夾角公式求出二面角
的余弦值.
（1）在
中，因為N為
中點，∴
.
在圓臺中，因為
底面
∴
，
，
平面.
∴平面.
又
平面
∴平面平面
（2）當時，，故分別以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標系.
設(shè)
，則
，
，
故
，
.
所在平面的法向量為
.
記
與底面，所成角為
則
，解得：
.
∴
設(shè)平面的法向量為
由
得：
平面
的法向量為
，記二面角的大小為
，
則
.
∴二面角的余弦值為.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為
，過F1的直線l與橢圓C交于M，N兩點，且△MNF2的周長為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點，且OA⊥OB，試問點O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】3個紅球與3個黑球隨機排成一行，從左到右依次在球上標記1，2，3，4，5，6，則紅球上的數(shù)字之和小于黑球上的數(shù)字之和的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了了解居民的家庭收人情況,某社區(qū)組織工作人員從該社區(qū)的居民中隨機抽取了
戶家庭進行問卷調(diào)查.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這些家庭的月收人在
元到
元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左至右第一 、二、四小組的頻率之比為
,且第四小組的頻數(shù)為
.
(1)求;
(2)求這戶家庭月收人的眾數(shù)與中位數(shù)(結(jié)果精確到
);
(3)這戶家庭月收入在第一、二、三小組的家庭中,用分層抽樣的方法任意抽取
戶家庭,并從這戶家庭中隨機抽取
戶家庭進行慰問,求這戶家庭月收入都不超過
元的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，我海監(jiān)船在
島海域例行維權(quán)巡航，某時刻航行至
處，此時測得其北偏東
方向與它相距
海里的
處有一外國船只，且島位于海監(jiān)船正東
海里處．
（1）求此時該外國船只與島的距離；
（2）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時
海里的速度沿正南方航行．為了將該船攔截在離島
海里的
處（在的正南方向），不讓其進入島海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到
，速度精確到
海里/小時）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家的學(xué)習興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下列數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一項是
，接下來的兩項是
，再接下來的三項是
，……，以此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)
且該數(shù)列的前
項和為2的整數(shù)冪，那么該軟件的激活碼是________。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知四邊形
為正方形，
平面，四邊形
與四邊形
也都為正方形，連接
，點
為
的中點，有下述四個結(jié)論：
①
； ②
與
所成角為
；
③
平面
； ④與平面
所成角為
．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某創(chuàng)業(yè)團隊擬生產(chǎn)
兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場預(yù)測，
產(chǎn)品的利潤與投資額成正比（如圖1），
產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注: 利潤與投資額的單位均為萬元)
（注：利潤與投資額的單位均為萬元）
(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤
、
表示為投資額
的函數(shù)；
(2)該團隊已籌集到10 萬元資金，并打算全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問:當產(chǎn)品的投資額為多少萬元時，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤，最大利潤為多少?
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如果一個四面體的三個面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；（2）銳角三角形；（3）鈍角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形.那么可能成為這個四面體的第四個面是_____.（填上你認為正確的序號）
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