Question

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，把滿足條件的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為．

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)為，則是否屬于？

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）數(shù)列中是不存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，理由詳見解析．

【解析】

（1）由題意可得，證明即后即可得解；

（2）由題意可得，當(dāng)時(shí)，；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得；即可得；進(jìn)而可得，即可得解；

（3）轉(zhuǎn)化條件得即，假設(shè)數(shù)列中存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，不妨設(shè)該等差數(shù)列的第項(xiàng)為（為常數(shù)），則存在，，使得，設(shè)，，，作差后可得即當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可得不等式有無窮多個(gè)解，顯然不成立，即可得解.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以，即；

（2）設(shè)的公差為，因?yàn)?/span>，

所以（*）

特別的當(dāng)時(shí)，，即，

由（*）得，

整理得，

因?yàn)樯鲜霾坏仁綄σ磺?/span>恒成立，所以必有，解得，

又，所以，

于是，即，

所以即；

（3）由得，所以，即，

所以，從而有，

又，所以，即，

又，，所以有，

所以，

假設(shè)數(shù)列中存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，

不妨設(shè)該等差數(shù)列的第項(xiàng)為（為常數(shù)），

則存在，，使得，即，

設(shè)，，，

則，

即，

于是當(dāng)時(shí)，，

從而有：當(dāng)時(shí)，即，

于是當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有無窮多個(gè)解，顯然不成立，

因此數(shù)列中是不存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列．