Question

三棱錐P-ABC中，PC、AC、BC兩兩垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點．
（Ⅰ）求證：平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求GB與平面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證平面GFE∥平面PCB，即證線面平行，易證EF∥平面PCB，GF∥平面PCB，又EF∩GF=F，根據(jù)面面平行的判定定理即可證得；
（Ⅱ）連接BF，找出GB與平面ABC所成角為∠GBF，在直角三角形GBF中求出此角即可；
（Ⅲ）設(shè)PB的中點為H，連接HC，AH，先證∠AHC為二面角A-PB-C的平面角，再在三角形AHC中求出此角．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為E、F、G分別是AB、AC、PA的中點，
EF∥BC，GF∥PC（1分）
且EF、GF?平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF=F，
所以平面GFE∥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）解：
連接BF，因為GF∥PC，PC⊥平面ABC，
所以GF⊥平面ABC，BF為斜線BG在平面ABC上的射影，則∠GBF為所求．（6分）
GF=

1

2

PC=

1

2

，
在直角三角形BCF中，可求得BF=

2

．
在直角三角形GBF中tan∠GBF=

GF

BF

=

2

4

．
即BG與平面ABC所成角的正切值是

2

4

．（8分）

（Ⅲ）解：設(shè)PB的中點為H，連接HC，AH，
因為△PBC為等腰直角三角形，
所以HC⊥PB．
又AC⊥BC，AC⊥PC，且BC∩PC=C，
所以AC⊥平面PCB．
由三垂線定理得AH⊥PB．
所以∠AHC為二面角A-PB-C的平面角．（11分）
因為AC=2，HC=

2

2

，
所以tan∠AHC=

AC

HC

=2

2

．
所以∠AHC=arctan2

2

．
即二面角A-PB-C的大小是arctan2

2

．（13分）

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．