Question

已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²cos2θ=8，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為θ=

π

6

，曲線C₁、C₂相交于A、B兩點(diǎn)．（p∈R）
（Ⅰ）求A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）曲線C₁與直線

x=1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)）分別相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（I）由

ρ2cos2θ=8 θ= π 6

得：ρ2cos

π

3

=8，即可得到ρ．進(jìn)而得到點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)．
（II）由曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ²cos2θ=8化為ρ²（cos²θ-sin²θ）=8，即可得到普通方程為x²-y²=8．將直線

x=1+ 3 2 t y= 1 2 t

代入x²-y²=8，整理得t2+2

3

t-14=0．進(jìn)而得到|MN|．

解答：解：（Ⅰ）由

ρ2cos2θ=8 θ= π 6

得：ρ2cos

π

3

=8，
∴ρ²=16，
即ρ=±4．
∴A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為：A(4，

π

6

)，B(-4，

π

6

)或B(4，

7π

6

)．
（Ⅱ）由曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ²cos2θ=8化為ρ²（cos²θ-sin²θ）=8，
得到普通方程為x²-y²=8．
將直線

x=1+ 3 2 t y= 1 2 t

代入x²-y²=8，
整理得t2+2

3

t-14=0．
∴|MN|=

(2 3 )2-4×(-14)

1

=2

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、此時(shí)方程化為普通方程、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法．