Question

過(guò)點(diǎn)（1，4）且與圓x²+（y+1）²=1相切的直線方程是

12x-5y+8=0或 x=1

．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r，顯然直線x=1與圓相切；當(dāng)與圓相切的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，由直線過(guò)（1，4），寫(xiě)出直線的方程，根據(jù)直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，故利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程．

解答：解：由圓x²+（y+1）²=1，得到圓心坐標(biāo)為（0，-1），半徑為1，
顯然此時(shí)直線x=1與圓x²+（y+1）²=1相切；
當(dāng)與圓相切的直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，
此時(shí)直線的方程為y-4=k（x-1），即kx-y+4-k=0，
∵直線與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=

|5-k|

1+k2

=r=1，
整理得：（5-k）²=1+k²，解得：k=

12

5

，
此時(shí)直線的方程為

12

5

x-y+

8

5

=0，即12x-5y+8=0，
綜上，所求直線的方程為：12x-5y+8=0或x=1．
故答案為：12x-5y+8=0或x=1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，利用了分類(lèi)討論的思想，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．