Question

若函數(shù)y=

1-ax

1+ax

（x≠-

1

a

，x∈R）的圖象關于直線y=x對稱，求a的值．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象本身關于直線y=x對稱知，原函數(shù)與它的反函數(shù)相同，從而比較系數(shù)求得a值．

解答：解：由y=

1-ax

1+ax

，解得x=

1-y

ay+a

．
故函數(shù)y=

1-ax

1+ax

的反函數(shù)為y=

1-x

ax+a

．
∵函數(shù)y=

1-ax

1+ax

的圖象關于直線y=x對稱，
∴函數(shù)y=

1-ax

1+ax

與它的反函數(shù)y=

1-x

ax+a

相同．
由

1-ax

1+ax

=

1-x

ax+a

恒成立，
得a=1．
答：a=1．

點評：本題考查了反函數(shù)的性質，屬于基礎題，本題還可以利用特殊點來解，解法二：∵點（0，1）在函數(shù)y=

1-ax

1+ax

的圖象上，且圖象關于直線y=x對稱，∴點（0，1）關于直線y=x的對稱點（1，0）也在原函數(shù)圖象上，代入得a=1．