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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          函數y=f（x）對于x＞0有意義，且滿足條件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）是增函數．
          （1）證明：f（1）=0；
          （2）若f（x）+f（x-3）≥2成立，求x的取值范圍．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）令x=2，y=1，并代入f（xy）=f（x）+f（y），即可求出f（1）的值；
          （2）令x=2，y=2，代入求得f（4），結合題意可將f（x）+f（x-3）≥2轉化為f（x2-3x）≥f（4），結合函數的單調性與函數的定義域，可得
          x＞0
          x-3＞0
          x2-3x≥4
          ，解可得x的值．
          解答：解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=2，y=1，則f（2×1）=f（2）+f（1），
          又由f（2）=1，則f（1）=0；
          （2）令x=2，y=2，則f（2×2）=f（4）=f（2）+f（2）=2，
          所以f（x）+f（x-3）=f（x2-3x）≥f（4），
          又f（x）為增函數
          所以
          x＞0
          x-3＞0
          x2-3x≥4
          ，
          綜上，x≥4．
          點評：本題考查抽象函數的應用，解（2）的關鍵是根據題意，分析出f（4）=2，進而用f（4）替換2，其次要注意函數的定義域．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          若函數y=f（x）對于一切實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
          （1）求f（0）并證明y=f（x）是奇函數；
          （2）若f（1）=3，求f（-3）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數f(x)=x2+
          2
          x
          +alnx(x＞0)          ，
          （Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
          （Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]≥f(
          x1+x2
          2
          )          成立，則稱函數y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函 數”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數”．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          函數y=f（x）對于任意正實數x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），當x＞1時，0＜f（x）＜1，且f（2）=
          1
          9
          ．
          （1）求證：f(x)f(
          1
          x
          )=1(x＞0)          ；
          （2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調性；并證明；
          （3）若f（m）=3，求正實數m的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          下列說法中，正確的個數為（　�。�
          ①函數y=f（x）與函數y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱；
          ②函數y=f（x）與函數y=-f（x）的圖象關于直線y=0對稱；
          ③函數y=f（x）與函數y=-f（-x）的圖象關于坐標原點對稱；
          ④如果函數y=f（x）對于一切x∈R，都有f（a+x）=f（a-x），那么y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱．
          

			
          

			
          
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