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          過橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的一個焦點F引直線l：y=
          b
          a
          x          的垂線FM，垂足為M，l交橢圓于P、Q兩點，若
          PM
          =3
          MQ
          ，則該橢圓的離心率為
          2-
          		2
          2-
          		2
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：根據(jù)直線的斜率公式和解直角三角形，算出|OM|=
          ac
          		a2+b2
          ．由
          PM
          =3
          MQ
          得M是OQ的中點，可得|OQ|=2|OM|=
          2ac
          		a2+b2
          ．由線段垂直平分線定理，得|QF2|=|OF2|=c，結(jié)合橢圓的定義得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c，最后在△QF1F2中利用中線的性質(zhì)，建立關(guān)于a、b、c的等式，化簡整理得到離心率e的方程，解之即可得到所求離心率．
          解答：解：∵直線l的斜率k=
          b
          a

          Rt△OMF2中，tan∠MOF2=
          |MF2|
          |OM|
          =
          b
          a

          結(jié)合|OF2|=c，可得|OM|=
          ac
          		a2+b2

          ∵
          PM
          =3
          MQ
          ，
          ∴M是OQ的中點，可得|OQ|=2|OM|=
          2ac
          		a2+b2

          ∵MF2是OQ的垂直平分線，∴|QF2|=|OF2|=c
          連結(jié)QF1，由橢圓的定義可得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c
          ∵OQ是△QF1F2的中線
          ∴4|OQ|2+|F1F2|2=2（|QF1|2+|QF2|2）
          即4×
          4a2c2
          a2+b2
          +4c2=2[（2a-c）2+c2]，
          化簡整理得e3-3e2-2e+2=0，即（e2-4e+2）（e+1）=0
          ∵e+1＞0，∴e2-4e+2=0，解之得e=2±
          		2

          ∵橢圓的離心率e∈（0，1），∴e=2-
          		2

          故答案為：2-
          		2
          點評：本題給出橢圓滿足的向量式，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義與幾何性質(zhì)、向量的運算和解三角形等知識，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          ，（a＞b＞0）的兩焦點分別為F1、F2，|F1F2|=4
          		2
          ，離心率e=
          2
          		2
          3
          ．過直線l：x=
          a2
          c
          上任意一點M，引橢圓C的兩條切線，切點為A、B．
          （1）在圓中有如下結(jié)論：“過圓x2+y2=r2上一點P（x0，y0）處的切線方程為：x0x+y0y=r2”．由上述結(jié)論類比得到：“過橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          （a＞b＞0），上一點P（x0，y0）處的切線方程”（只寫類比結(jié)論，不必證明）．
          （2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過定點（2
          		2
          ，0          ）；
          （3）當(dāng)點M的縱坐標(biāo)為1時，求△ABM的面積．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2011•寧波模擬）已知：圓x2+y2=1過橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1          相交于A，B兩點記λ=
          OA
          •
          OB
          ，且
          2
          3
          ≤λ≤
          3
          4
          ．
          （Ⅰ）求橢圓的方程；
          （Ⅱ）求k的取值范圍；
          （Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知：圓x2+y2=1過橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1相交于A，B兩點記λ=
          OA
          •
          OB
          ，且
          2
          3
          ≤λ≤
          3
          4
          ，
          （1）求橢圓的方程；
          （2）求k的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （如圖）過橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
          （1）求橢圓
          x2
          5
          +y2          =1的“左特征點”M的坐標(biāo)．
          （2）試根據(jù)（1）中的結(jié)論猜測：橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結(jié)論．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          過橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的左頂點A做圓x2+y2=b2的切線，切點為B，延長AB交拋物線于y2=4ax于點C，若點B恰為A、C的中點，則
          a
          b
          的值為
          1+
          		5
          2
          1+
          		5
          2
          ．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案