Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A做圓x²+y²=b²的切線，切點(diǎn)為B，延長AB交拋物線于y²=4ax于點(diǎn)C，若點(diǎn)B恰為A、C的中點(diǎn)，則

a

b

的值為

1+ 5

2

．

Answer 1

分析：由拋物線于y²=4ax得到焦點(diǎn)F（a，0），連接OB，CF．由O，B分別是線段AF，AC的中點(diǎn)，可得|CF|=2|OB|=2b，利用拋物線的定義得x_C+a=2b，得到x_C=2b-a，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，
由直線AC與圓x²+y²=b²的相切的性質(zhì)即可得出．

解答：解：如圖所示，
由拋物線于y²=4ax得到焦點(diǎn)F（a，0），連接OB，CF．
∵O，B分別是線段AF，AC的中點(diǎn)，∴|CF|=2|OB|=2b，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)滿足x_C+a=2b，得到x_C=2b-a，
由

y

2 C

=4a(2b-a)，解得yC=2

a(2b-a)

（取y_C＞0）．
∴C(2b-a，2

a(2b-a)

)．
∴直線AC的方程為y=

2 a(2b-a)

2b

(x+a)，化為

a(2b-a)

x-by+a

a(2b-a)

=0．
∵直線AC與圓x²+y²=b²的相切，∴

|a a(2b-a) |

a(2b-a)+b2

=b，
化為（a²-ab-b²）²=0，即a²-ab-b²=0，化為(

a

b

)2-(

a

b

)-1=0．又∵

a

b

＞1．
解得

a

b

=

1+ 5

2

．
故答案為

1+ 5

2

．

點(diǎn)評：熟練掌握圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力．