Question

【題目】如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．
（Ⅰ）證明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．

∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，

∵DF∩EF=F，

∴AF⊥平面EFDC，

∵AF平面ABEF，

∴平面ABEF⊥平面EFDC；

（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，

可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角；

由ABEF為正方形，AF⊥平面EFDC，

∵BE⊥EF，

∴BE⊥平面EFDC

即有CE⊥BE，

可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．

可得∠DFE=∠CEF=60°．

∵AB∥EF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，

∴AB∥平面EFDC，

∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB平面ABCD，

∴AB∥CD，

∴CD∥EF，

∴四邊形EFDC為等腰梯形．

以E為原點，建立如圖所示的坐標系，設(shè)FD=a，

則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（ ，0， a），A（2a，2a，0），

∴ =（0，2a，0）， =（ ，﹣2a， a）， =（﹣2a，0，0）

設(shè)平面BEC的法向量為 =（x1，y1，z1），則 ，

則 ，取 =（ ，0，﹣1）．

設(shè)平面ABC的法向量為 =（x2，y2，z2），則 ，

則 ，取 =（0， ，4）．

設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ，則cosθ=

= =﹣ ，

則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣ ．

【解析】（Ⅰ）證明AF⊥平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點，建立如圖所示的坐標系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．