Question

已知f（x）=，且f（1）=3，
（1）試求a的值，并證明f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=x+b的兩根為x₁，x₂，試問是否存在實數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意的b∈[2，]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將1代入函數(shù)關(guān)系式，即可求得；利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用韋達(dá)定理先求出|x₁-x₂|，變?yōu)椴坏仁胶愠闪�問題，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最值即可解決．
解答：解：（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴f（x）=，設(shè)≤x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）=2x₂+-（2x₁+）=2（x₂-x₁）+=（x₂-x₁）（2-），
∵x₂＞x₁≥，∴x₁x₂≥x₁²≥，∴0＜＜2，
∴2-＞0又x₂-x₁＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）∵f（x）=x+b，∴x²-bx+1=0，∴|x₁-x₂|=又2≤b≤，∴0≤|x₁-x₂|≤3，故只須當(dāng)t∈[-1，1]，使m²+mt+1≥3恒成立，記g（t）=tm+m²-2，只須：，∴，∴，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題的處理，考查靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．