Question

A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P，使，則橢圓離心率的范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用兩個向量的數(shù)量積公式得到（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，e²=，得到＜e²＜1，
從而求得離心率的范圍．
解答：解：設(shè)橢圓的方程為 ，設(shè) A （a，0），點P（acost，bsint）．
 由題意得，=0，∴（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，
∴（-acost ）•（a-acost ）+b²sin²t=0，化簡可得 c²cos²t-a²cost+a²-c²=0，
∴e²cos²t-cost+1-e²=0，∴e²=．
又∵0＜e＜1，0＜1+cost＜2，∴＜e²＜1，∴＜e＜1，
故答案為＜＜1．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到e²=是解題的關(guān)鍵．