Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（π-x）cosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

6

]上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式，化簡(jiǎn)得f（x）=sin2x，得f（x）最小正周期T=π；
（2）因?yàn)閤∈[-

π

3

，

π

6

]時(shí)，可得2x∈[-

2π

3

，

π

3

]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）的最大、最小值及相應(yīng)的x值．

解答：解：（1）∵sin（π-x）=sinx，∴f（x）=2sin（π-x）cosx=2sinxcosx
可得f（x）=sin2x，函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]，可得2x∈[-

2π

3

，

π

3

]
∴當(dāng)2x=-

π

2

時(shí)，f（x）最小值為-1，相應(yīng)的x=-

π

4

；
當(dāng)2x=

π

3

時(shí)，f（x）最大值為

3

2

，相應(yīng)的x=

π

6

綜上所述，f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

6

]上的最大值為f（

π

6

）=

3

2

，最小值為f（-

π

4

）=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，并求函數(shù)的周期與閉區(qū)間上的最值．著重考查了三角式的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．