Question

設(shè)函數(shù)f(x)=|x²-4x-5|.

(1)在區(qū)間［-2,6］上畫出函數(shù)f(x)的圖象；

(2)設(shè)集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞)，試判斷集合A和B之間的關(guān)系，并給出證明；

(3)當(dāng)k＞2時(shí)，證明在區(qū)間［-1,5］上，y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f(x)圖象的上方.

Answer 1

(1)解：

(2)解：方程f(x)=5的解分別是2-，0,4和2+，由于f(x)在(-∞,-1)和［2,5］上單調(diào)遞減，在［-1，2］和［5,+∞)上單調(diào)遞增，因此A=(-∞,2-)∪［0,4］∪［2+,+∞).

    由于2+＜6,2-＞-2,

    ∴BA.

(3)證法一：當(dāng)x∈［-1,5］時(shí)，f(x)=-x²+4x+5,

    g(x)=k(x+3)-(-x²+4x+5)

    =x²+(k-4)x+(3k-5)

    =(x-)²-,

    ∵k＞2,∴＜1.

    又-1≤x≤5,

    ①當(dāng)-1≤＜1,即2＜k≤6時(shí)，取x=,g(x)_min=-=-［(k-10)²-64］.

    ∵16≤(k-10)²＜64,∴(k-10)²-64＜0.則g(x)_min＞0.

    ②當(dāng)＜-1,即k＞6時(shí)，取x=-1,g(x)_min=2k＞0.

    由①②,可知當(dāng)k＞2時(shí)，g(x)＞0,x∈［-1,5］.

    因此，在區(qū)間［-1,5］上，y=k(x+3)的圖象位于函數(shù)f(x)圖象的上方.

    證法二：當(dāng)x∈［-1,5］時(shí)，f(x)=-x²+4x+5.

    由得x²+(k-4)x+(3k-5)=0.

    令Δ=(k-4)²-4(3k-5)=0,解得k=2或k=18.

    在區(qū)間［-1,5］上，當(dāng)k=2時(shí)，y=2(x+3)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象只交于一點(diǎn)(1,8)；當(dāng)k=18時(shí)，y=18(x+3)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象沒(méi)有交點(diǎn).

    由于直線y=k(x+3)過(guò)點(diǎn)(-3,0)，當(dāng)k＞2時(shí)，直線y=k(x+3)是由直線y=2(x+3)繞點(diǎn)(-3,0)逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到的.因此，在區(qū)間［-1,5］上，y=k(x+3)的圖象位于函數(shù)f(x)圖象的上方.