Question

已知區(qū)域

y≥0 x- 3 y+2≥0 3 x+y-2 3 ≤0

的外接圓C與x軸交于點(diǎn)A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為長(zhǎng)軸，離心率e=

2

2

．
（1）求圓C及橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)圓C與y軸正半軸交于點(diǎn)D，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，D，O中點(diǎn)為E，問是否存在直線l與橢圓C₁交于M，N兩點(diǎn)，且|ME|=|NE|？若存在，求出直線l與A₁A₂夾角θ的正切值的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用條件知道區(qū)域是直角三角形求出其外接圓C的方程，以及2a的值，再利用離心率即可求出橢圓C₁的方程；
（2）把直線方程與橢圓C₁的方程聯(lián)立，求出M，N兩點(diǎn)以及M，N中點(diǎn)與直線系數(shù)之間的關(guān)系，再把|ME|=|NE|轉(zhuǎn)化為E在MN的中垂線上即可找到直線系數(shù)之間的等式，再代入前面求得的結(jié)論即可求出直線l與A₁A₂夾角θ的正切值的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可知，區(qū)域是以A₁（-2，0），A₂（2，0）及點(diǎn)M(1，

3

)為頂點(diǎn)的三角形，
∵A₁M⊥A₂M，∴△A₁A₂M為直角三角形．（2分）
∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為x²+y²=4．
∵2a=4，∴a=2．
又e=

2

2

，∴c=

2

，可得b=

2

．
∴所求橢圓C₁的方程是

x2

4

+

y2

2

=1．（6分）
（2）點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2），故點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，1），顯然θ=0可滿足要求；θ=

π

2

時(shí)不滿足題意．（8分）
當(dāng)θ≠0，

π

2

時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）＞0，得4k²+2＞m²；（10分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為F（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，y0=kx0+m=

m

1+2k2

．
∵|ME|=|NE|，∴MN⊥EF，∴

y0-1

x0

=-

1

k

，
即

m 1+2k2 -1

- 2km 1+2k2

=-

1

k

，
解得m=-1-2k²．（12分）
∴4k²+2＞（-1-2k²）²，得-

2

2

＜k＜

2

2

(k≠0)．
綜上，直線l與A₁A₂夾角θ的正切值的取值范圍是(-

2

2

，

2

2

)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線的綜合大題，主要考查解析幾何的有關(guān)知識(shí)，以及分析問題與解決問題的能力．值得引起重視的一個(gè)現(xiàn)象是，經(jīng)常出現(xiàn)一條或幾條直線與兩種圓錐曲線（包括圓）的位置關(guān)系問題，同時(shí)要注意其與平面幾何、平面向量以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)的綜合命題．