Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（1）試判斷并證明f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，由f（x）在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)從而有f（-x₁）＞f（-x₂），再由f（x）是偶函數(shù)，得到f（x₁）＞f（x₂）由定義得證．
（2）通過f（x）是偶函數(shù)，將模型轉(zhuǎn)化為：f（1）＜f（|lgx|），再利用f（x）是（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)求解．

解答：解：（1）f（x）在（-∞，0）是單調(diào)減函數(shù)（2分）
設(shè)x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，0）是單調(diào)減函數(shù)（8分）
（2）由f（x）是偶函數(shù)，
f（1）＜f（|lgx|）又f（x）是（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)
∴|lgx|＞1；（11分）
∴l(xiāng)gx＞1或lgx＜-1
∴x＞10或0＜x＜

1

10

為所求x的取值范圍．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用，還考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．