Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos²x+

1

2

sin²x-1．
（ I ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值；
（II）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且c=

3

，f（c）=0，若向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）共線，求a、b的值．

Answer 1

分析：（I）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；
（II）由f（C）=0，代入f（x）中，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到C的度數(shù)，根據(jù)平面向量平行時(shí)滿足的條件得到sinB=2sinA，根據(jù)正弦定理得到a與b的關(guān)系式，記作①，又根據(jù)余弦定理，由c和cosC的值，得到a與b的另一個(gè)關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②即可求出a與b的值．

解答：解：（I）f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos²x+

1

2

sin²x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin（2x-

π

6

）-1
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴函數(shù)f（x）的最小值時(shí)-

3

2

，最大值時(shí)0；
（II）由f（C）=0，得到sin（2C-

π

6

）-1=0，∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，
又∵向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）共線，∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理得：b-2a=0①，
又由余弦定理得：a²+b²-2abcosC=c²，即a²+b²-ab=3②，
聯(lián)立①②，解得a=1，b=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，掌握正弦函數(shù)的值域及平面向量平行時(shí)滿足的條件，是一道中檔題．