Question

已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬(wàn)元，且R（x）=

10.8- 1 30 x2(0＜x≤10) 108 x - 1000 3x2 (x＞10)

（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大？（注：年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析：（1）由年利潤(rùn)W=年產(chǎn)量x×每千件的銷售收入為R（x）-成本，又由R(x)=

10.8- 1 30 x2(0＜x≤10) 108 x - 1000 3x2 (x＞10)

，且年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元．我們易得年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）由（1）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤(rùn)的最大值，然后根據(jù)分段函數(shù)的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-

x3

30

-10；
當(dāng)x＞10時(shí)，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x．
∴W=W=

8.1x- x3 30 -10(0＜x≤10) 98- 1000 3x -2.7x(x＞10)

（2）①當(dāng)0＜x＜10時(shí)，由W'=8.1-

x2

10

=0，得x=9，
且當(dāng)x∈（0，9）時(shí)，W'＞0；當(dāng)x∈（9，10）時(shí)，W'＜0，
∴當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值，且Wmax=8.1×9-

1

30

×93-10=38.6
②當(dāng)x＞10時(shí)，W=98-(

1000

3x

+2.7x)≤98-2

1000 3x •2.7x

=38
當(dāng)且僅當(dāng)

1000

3x

=2.7x，
即x=

100

9

時(shí)，W=38，
故當(dāng)x=

100

9

時(shí)，W取最大值38．
綜合①②知當(dāng)x=9時(shí)，W取最大值38.6萬(wàn)元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)及函數(shù)的最值，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x(chóng)、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．