Question

在△ABC中，已知內(nèi)角A=

π

3

．邊BC=2

3

設(shè)內(nèi)角B=x，△ABC的面積為y．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正弦定理把邊AC和AB用含x的代數(shù)式表示，然后代入面積公式

1

2

AB•ACsinA，求y，由三角形內(nèi)角和定理得定義域；
（Ⅱ）把函數(shù)解析式展開(kāi)兩角差的正弦，然后整理化為Asin（ωx+φ）+k的形式，由角x的范圍求值域．

解答：解：（Ⅰ）△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π，
∵A=

π

3

由正弦定理得，AC=

BC

sinA

sinB=4sinx，
AB=

BC

sinA

sinC=4sin(

2π

3

-x)，
∴y=

1

2

AB•ACsinA=4

3

sinxsin(

2π

3

-x) (0＜x＜

2π

3

)；
（Ⅱ）y=4

3

sinxsin(

2π

3

-x)=4

3

sinx(

3

2

cosx+

1

2

sinx)
=6sinxcosx+2

3

sin2x
=3sin2x+2

3

•

1-cos2x

2

=3sin2x-

3

cos2x+

3

=2

3

(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+

3

=2

3

sin(2x-

π

6

)+

3

．
∵0＜x＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2x-

π

6

)≤1，
∴0＜y≤3

3

，
即值域?yàn)?nbsp;(0，3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理得應(yīng)用，考查了兩角和與差的三角函數(shù)，訓(xùn)練了與正弦函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)值域的求法，是中檔題．