Question

紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤(pán)，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6，0.5，0.5，假設(shè)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；
（Ⅱ）用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤(pán)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由題意知紅隊(duì)至少有兩名隊(duì)員獲勝包括四種情況，一是只有甲輸，二是只有乙輸，三是只有丙輸，四是三個(gè)人都贏，這四種情況是互斥的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率得到結(jié)果．
（II）由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫(xiě)出變量對(duì)應(yīng)的概率，變量等于2使得概率可以用1減去其他的概率得到，寫(xiě)出分布列，算出期望．

解答：解：（I）設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，
∵甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6，0.5，0.5
可以得到D，E，F(xiàn)的對(duì)立事件的概率分別為0.4，0，5，0.5
紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝包括四種情況：DE

.

F

，D

.

E

F，

.

D

EF，DEF，
這四種情況是互斥的，
∴P=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55
（II）由題意知ξ的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=0.4×0.5×0.5=0.1．，
P（ξ=1）=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35
P（ξ=3）=0.6×0.5×0.5=0.15
P（ξ=2）=1-0.1-0.35-0.15=0.4
∴ξ的分布列是

∴Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6

點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件的概率，考查相互獨(dú)立事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，解題時(shí)注意對(duì)立事件概率的使用，一般遇到從正面解決比較麻煩的，就選擇利用對(duì)立事件來(lái)解決．