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        1. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+
          3
          2
          x+
          3
          2
          a
          (a為實(shí)數(shù))
          (I)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍;
          (II)若f(x)在x=-1時(shí)有極值,證明對(duì)任意的x1,x2∈(-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|<
          5
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          恒成立.
          分析:(I)先求函數(shù)f(x)=x3+ax2+
          3
          2
          x+
          3
          2
          a
          的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,即導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)有實(shí)數(shù)解,再令方程的判別式大于或等于零即可得a的范圍;
          (II)先由f′(-1)=0求出a值,令導(dǎo)函數(shù)大于零,解不等式可得函數(shù)的增區(qū)間,令導(dǎo)函數(shù)小于零,解不等式可得函數(shù)的減區(qū)間,然后求函數(shù)f(x)在[-1,0]上的最大值和最小值,當(dāng)這兩個(gè)值差的絕對(duì)值小于
          5
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          ,即可證得結(jié)論.
          解答:解:∵f(x)=x3+ax2+
          3
          2
          x+
          3
          2
          a
          ,∴f′(x)=3x2+2ax+
          3
          2

          (I)∵函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線,
          ∴f′(x)=0有實(shí)數(shù)解則△=4a2-4×3×
          3
          2
          ≥0
          ,a2
          9
          2

          所以a的取值范圍是(-∞,-
          3
          2
          2
          ]∪[
          3
          2
          2
          ,+∞)

          (2)∵f′(-1)=0,∴3-2a+
          3
          2
          =0
          ,a=
          9
          4

          f′(x)=3x2+
          9
          2
          x+
          3
          2
          =3(x+
          1
          2
          )(x+1)

          由f'(x)>0得x<-1或x>-
          1
          2
          ;
          f′(x)<0得-1<x<-
          1
          2

          ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1),(-
          1
          2
          ,+∞)

          單調(diào)減區(qū)間為(-1,-
          1
          2
          )

          ∴f(x)的最大值為f(-1)=
          25
          8

          f(x)的極小值為f(-
          1
          2
          )=
          49
          16
          ,又f(0)=
          27
          8

          ∴f(x)在[-1,0]上的最大值M=
          27
          8
          ,
          最小值m=
          49
          16
          ∴對(duì)任意x1,x2∈(-1,0),
          恒有|f(x1)-f(x2)|<M-m=
          27
          8
          -
          49
          16
          =
          5
          16
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
          (1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
          (2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

          已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

          已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說(shuō)法正確的是( )
          A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
          B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
          C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
          D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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