Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

（1）若，求與所成角的余弦值；

（2）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】

試題（1）結(jié)合已知條件，設(shè)與的交點(diǎn)為，則，故考慮分別以為軸、軸，以過且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)與所成的角為，則可轉(zhuǎn)化為與所成的角，代入公式可求；（2）分別求平面的法向量，平面的法向量，由平面平面可得從而可求即.

試題解析：（1）因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以.

又因?yàn)?/span>平面，所以.

又，所以平面.

設(shè).

因?yàn)?/span>，，

所以，，

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，所以，.

設(shè)與所成角為，則 .

（2）由（1）知，設(shè)（），則，

設(shè)平面的法向量，則，，所以，

令，則，，所以.

同理，平面的法向量.

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，即，解得.所以.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求異面直線成的角，以及向量垂直的應(yīng)用，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.